Скалярным произведением двух векторов $\bar{a}$ и $\bar{b}$ называется число, равное произведению их длин на косинус угла между ними:

$$ \bar{a}\cdot\bar{b}=|\bar{a}|\cdot|\bar{b}|\cdot cos(\bar{a},\bar{b}) $$

Т.к $|\bar{b}| \cdot cos(\bar{a},\bar{b})$ есть проекция вектора $\bar{b}$ на вектор $\bar{a}$

$$ \bar{a} \cdot \bar{b} = |\bar{a}|Пр_{\bar{a}}\bar{b} $$

Свойства

$1) \ \bar{a} \cdot \bar{b} = \bar{b}\cdot \bar{a}$

$2) \ (\lambda\bar{a}) \cdot \bar{b} = \lambda(\bar{a} \cdot \bar{b})$

$3) \ \bar{a}(\bar{b} + \bar{c}) = \bar{a} \cdot \bar{b} + \bar{a} \cdot \bar{c}$

$4) \ \bar{a}^2 = |\bar{a}|^2 \quad (\bar{a} \cdot \bar{a}) = |\bar{a}| \cdot |\bar{a}| \cdot cos0 = |\bar{a}|^2$

$5) \begin{matrix} \bar{a} \perp\bar{b}\leftrightarrow \bar{a} \cdot \bar{b}= 0 \\ \bar{a} \cdot \bar{b} = |\bar{a}| \cdot |\bar{b}| \cdot cos90\degree = 0

\end{matrix}$

Векторы $\bar{a}$ и $\bar{b}$, скалярное произведение которых равно нулю, называются ортогональными