Минором некоторого элемента aij определителя n-го порядка называется определитель n1 порядка, полученный из исходного путем вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых находится выбранный элемент.

Обозначается Mij

$$ \Delta = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} \quad M_{21} = \begin{vmatrix} a_{12} & a_{13}\\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} $$

Алгебраическим дополнением элемента a11 определителя называется его минор, взятый со знаком ,,+’’, если i+j- четное число, и со знаком ,,–’’, если i+j- нечетное число. Обозначается Aij

$$ A_{ij}=(-1)^{i+j}\cdot M_{ij} $$

$$ \Delta = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}\quad A_{21} = (-1)^{2+1}\cdot M_{21} = -M_{21} =- \begin{vmatrix} a_{12} & a_{13}\\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} $$

Минором матрицы k-го порядка - это определитель, составленный из элементов матрицы, расположенных на пересечении каких-либо k строк и k столбцов.

$$ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 4 & 1 \end{pmatrix}

$$

$$ M_1 = 1

$$

$$ M_2 = \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \\ \end{vmatrix} M_2 = \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 1 \\ \end{vmatrix} M_3 = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 4 \end{vmatrix} $$

Ранг матрицы - наибольший из порядков ее миноров, не равных нулю

$$ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix}\\ M_1 = 3 \neq 0\\M_2 = \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} = 0 \\ rangA=1\\r(A)=1 $$

#Для вычисления ранга матрицы можно привести ее к ступенчатому виду - количество ненулевых строк и будет рангом матрицы